《虞书》说“统一了律、度、量、衡”，这是为了使远近一致而使百姓有所凭信。从伏羲画八卦，数字就由此而起，到黄帝、尧、舜时就部齐全了。三代时研习古事，度量衡制度更加明晰了。周朝衰亡失去了控制，孔子就陈述后代帝王应遵守的准则，说道：“要小心对待斤两与斗斛，慎重对待丈和尺，重整被罢免的官员，举荐人才，天下的政治就可行了。”汉朝建立后，北平侯张苍最先确定律法和历法，孝武帝时乐官又进行了考正。到元始年间王莽把持朝政，想沽名钓誉，就征召了天下通晓钟律的一百多人，叫羲和刘歆等人主持领导分条上奏，所说的最为详细。所以删除其中不确切的话，选取其中正确的意义，把它们写成篇章。
一叫完备数字，二叫和协乐音，三叫详细长短标准，四叫标准量器，五叫称量物体轻重工具。或三或五，加以参合，加以改变，考察古今，验证物体，协调听觉，查考经传，都得到了
确实，没有不一致的。
数就是一、十、百、千、万，是用来计算统计事物，顺应人的性命的规则。《尚书》说：“首先要建立算数来命名万物。”原本产生于黄钟的律敷，从一开始，用三来乘，再用三来乘，……经过十二次相乘的数字，得十七万匕千一百四十七，即一乘以三的十一次方，五行的数字都齐备了。它的计算方法是用竹子，直径一分，长六寸，用二百七十一枚就形成六角，是一握的数量。直径就像十二律六阳中黄钟的十分之一，长度就像六阴中林钟音律的长度。它的数字是用《周易》中大衍之数是五、十，其用数为四十九，就成为阳六爻，从而形成六爻周转流行的景象。推演历术、产生律吕、制作器物，用规来画圆，用矩来画方，称量物体，量知多少，窥探幽深，求索隐微，勾画描绘致深致远的事物，没有不用数的。测量长短可以不差毫，容量多少不差圭撮，称量轻重不差黍累。记数超过了一的，和超过了十的，长大于一百的，大小超过一千的，演算超过一万的，计算都在于算数的方法。公布天下，是小学的准则。职责在于太史，羲和掌管‘芦。
声，是宫、商、角、征、羽。制作音乐，是用来调谐八音，净化人不正当的心意，完整他们端正的秉性，改变风气转换习俗的。八种乐器包括：用土做的叫埙，用匏做的叫笙，用皮做的叫鼓，用竹做的叫管，用丝做的叫弦，用石做的叫磬，用金属做的叫钟，用木做的叫祝。五声调和，八音和谐，音乐就成了。商是声音最显著的，物质成熟后可以明显地测量。角，就是触，植物冲破地面长出来的，是幼苗长出的尖叶。宫，就是中，处在中央，四方畅通，首先开始，是四声中起决定作用的部分。征，就是祉，物体盛大就产生福祉。羽，就是字，物体都聚集隐藏在宇宙下面。声音，就是以宫为中间，从角慢慢开始，到征逐渐强大，而到商就更显著了，到羽就扩大到了整个宇宙，所以四声成为五音了。用五行来和配，那么角就是木，在五常中是仁，在五事中就是貌。商就是金、是义、是言，征就是火、是礼、是视，羽就是水、是智、是听，宫就是土、是信、是思。如果从君、臣、民、事、物方面来说，那么宫就是君，商就是臣，角就是民，征就是事，羽就是物。此唱彼和，互相呼应，所以用君臣的地位来论说是事物的本体。
五声的根本，产生于黄钟的律音。以九寸作为宫调，或增或减，用来确定商、角、征、羽。九和六错杂交替，是阴和阳互相呼应的结果。律有十二，其中六阳为律，六阴为吕。律是用来统领气息模仿事物的，一叫做黄钟，二叫太蔟，三叫姑洗，四叫蕤宾，五叫夷贝0，六叫无射。吕是用来集中天阳以发出气息，一叫做林钟，二叫做南吕，三叫做应钟，四叫做大吕，五叫做夹钟，六叫做中吕。有三统的含义。相传是黄帝所作。黄帝派泠纶从大夏往西，到达昆仑山的北面，砍下生长在解谷的竹子，取竹孔内外厚薄均匀的，截断两节的中间部位用来吹气，就成了黄钟的音律。做成十二个竹筒来听凤凰的呜叫，其中雄的叫了六下，雌的也叫了六下，参照黄钟的音律，都可以上下相生，所以是律的根本。在天下极为太平的时代，天气和地气相合就产生了风；天地的风气端正了，十二律就定了。黄钟：黄是中间的颜色，君主的服装；钟就是种。天的中间数字是五，五作为声音的数字，在宫上的声音，五声中没有比它更响的了。地的中间数字是六，六作为律音，律有形有色，颜色崇尚黄色，五色中再也没有比它更艳丽的了。所以阳气注于地下深处，使万物萌芽生长，成为六气之首。用黄色来命名气律之首，是为了突出宫声。宫用九唱六和，变化不止，流动不息。从子位开始，在十一月。大吕：吕，就是旅，是说阴气很强，共同帮助黄钟疏通气流而使万物萌芽。宫位于丑位，在十二月。太蔟：蔟，就是奏，是说阳气盛大，波及地面上的物质。宫位于寅位，在正月。夹钟，是说阴气在两旁帮助着太蔟传播四方的气流而使种在地下的物质长出来。宫位于卯位，在二二月。姑洗：洗就是洁，是说阳气洗涤物质一定使它洁净。宫位于辰位，在三月。中吕，是说很小的阴气刚开始起来还没有形成，把它放到裹面是一同帮助姑洗宣泄气流调济物质。宫位于巳位，在四月。蕤宾：蕤，就是继，宾，就是导，是说阳气开始引导阴气使其继续滋善万物。宫位于午位，在五月。林钟：林，就是君，是说阴气接受任务，帮助蕤宾统治播种的万物使它们生长得很茂盛。宫位于未位，在六月。夷则：则，就是法，是说阳气用来端正法度而使阴气去损伤那些应当伤害的物质。宫位于申位，在七月。南吕；南，就是任，是说阴气是用来一同帮助损害那些生成
的万物。宫位于酉位，在八月。无射：射，就是厌，是说阳气穷究物质而使阴气全部把它剥落，完了以后再开始，没有满足和穷尽。宫位于戌位，在九月。应钟，是说阴气呼应无射，把万物都藏塞起来而阴气夹杂着阳气来阻隔所种下的物质。宫位于亥位，在十月。
三统，是上天所施行，大地所造化，人间所行之事的记载。十一月时，是《干》卦的初九，此时阳气埋伏在地底下，开始时显露为一体，万物开始萌芽生长，种子种于阴气极盛的地方，所以黄钟就是上天的正统，律长有九寸。九是用来穷究和中和的，是万物之首。《周易》上说：“建立上天的规律，就是阴和阳。”六月，是《坤》卦的初六，阴气从阳气极盛的地方接受孕育，用来继续培养万物使之开始萌生，让万物得以生长，在未位变得茂盛，让种子变得刚强壮大，所以林钟就是大地的正统，律长有六寸。六是因为含有阳气的散发，盛行于天地四方，使刚和柔各自有体。 “建立大地的规律，就是刚与柔。”“《干》卦可以知道最初的，《坤》卦可以生成万物。”正月，《干》卦的九三爻，万物开始通气，聚集起来在寅时长出，人类捧着它使它成形，用仁德来抚养，用道义来对待，使事物各自得到自己发展的规律。寅位，属木，是五常中的仁；它的声音，是商调，是五常中的义。所以太蔟就是人类的正统，律长有八寸，就像八卦，伏羲氏用它来理顺天地，通达神灵，类推万物的情状。“成为人的原则，就是仁与义。”“在天形成天象，在地就形成形体。”“君王用来总结形成天地的规律，用天地合理的规律来规矩百姓。”这就是对三律而言的，这就是三统。
五声在三正中，黄钟在子位为天正，林钟在未位，其相对冲的是丑位，为地正，太蔟在寅位为人正。三正用来端正开始，是用地正去适应它开始于阳东北的丑位。《周易》上说“东北丧失了同类，最终一定有福”，这是答和应的规律。黄钟如果为宫声，那么太蔟、姑洗、林钟、南吕就都用正声相应，没有一点多余的，不再为其他律音所利用，这是同心齐力的道义所在。不用黄钟而用其他的律，即使从它所在的月份为宫调，那么与它相和应的律音也会有差异，不能得到它正确的音高。这就是黄钟高高在上的缘故，没有与它相并列的。
《周易》书上说：“天的奇数和地的偶数就组成了数字。”天的数字从一开始，其总和为二十五。它的含义用三来记数，所以放一个就得三个，又有二十五分之六，一共放二十五个，为终天之数，得八十一，用天地五位的最后一个数以十乘之，得到八百一十分，印证了历法一统有一千五百三十九年的章数，这是黄钟的积数。用这个含义，就形成了十二律的直径。地的数字从二开始，其总和为三十。它的含义用二来记数，所以放一个就得二个，一共放三十个，为终地之数，得到六十，用地的中心数字六来乘以六十，得三百六十分，正好是一年的天数，这是林钟的积数。人，继承天意顺从地意，调节气形成事物，统率八卦，调动八风，治理八政，端工正八节，调和八音，舞蹈八佾，监察八方，身游八荒，用来完成天地所有的功业，所以八乘八得六十四。它的意义包括了天地所有的变化，用天地五位的最后一个数十来乘以六十四，得六百四十分，应了六十四卦，这是太蔟的积数。
《尚书》上说：“天的功业由人来代替。”天兼有地，入以天为准贝0，所以用天数五位的和来乘以它们，“衹有天是最大的，所以尧遵守天的法则”就是这样。地用中心数字来乘，是因为阴气的规律是主持内部，就像在中锁的位置一样。三统互相贯通了，所以黄钟、林钟、太蔟的律长都达到了，没有多余一分。
天数的中间数字是五，地数的中间数字是六，这两者都是合。六是爻位，五是声位，在天地四方流动不息。虚，爻位和律都有阴阳，它们上下运行，共有十二个，这样律吕就相和谐了。原始混沌之气中，把天地人三者混合为一。极，是中正的意思。元，是开始的意思。从子时开始起动，在十二辰中运行。在丑时用三乘子时之数，得三。又在寅时用三乘以丑时之数，得九。又在卯时用三乘以寅时之数，得二十七。又在辰时用三乘以卯时之数，得八十一。又在巳时用三乘以辰时之数，得二百四十三。又在午时用三乘以巳时之数，得七百二十九。又在未时用三乘以午时之数，得二千一百八十七。又在申时用三乘以未时之数，得六千五百六十一。又在酉时用三乘以申时之数，得一万九千六百八十三。又在戌时用三乘以酉时之数，得五万九千零四十九。又在亥时用三乘以戌时之数，得十七万七千一百四十七。这是由于阴阳相和，气播洒在子时，用来生成万物。所以在子时滋养，在丑时萌芽，在寅时慢慢生长，在卯时冒出地面，在辰时努力向上生长，在巳时就已经强盛起来，在午时就一下全都布满了，在未时开始有滋味，有申时各自保持自己的形状，在酉时就收获已经成熟的，在戌时全部都收获了，在亥时就全都收藏起来。在甲脱出甲壳，在乙轧轧而出，在丙显然易见，在丁强盛壮大，在戊丰盛茂密，在已有形可认，在庚收敛改变，在辛都是新收成的，在壬怀孕，在癸进行测量。所以阴阳施行与转化，万物的终结与开始，既依照律吕而进行，又经过丫曰辰，这样变化的情况就可以看出来了。
北斗玉衡和杓柄的指向，是天的要则所在；曰月开始运行的位置，是各星的次序。纲和纪相互配合，就形成了原始的状态，用来配合乐音。律吕一唱一和，是养育生成并演化了的，用来歌唱和演奏。斗柄指示星象取准，然后阴阳万物全都畅达完备。所以用已成的法数除以积数，按法则是一寸，即是黄钟的长度。把黄钟的长度平分成三减去其中之一，就是林钟的长度。把林钟的长度平分成三再增加一份，就是太蔟的长度。把太蔟平分为三减去其中之一，就是南吕的长度。把南吕平分为三再增加一份，就是姑洗的长度。把姑洗平分为三减去其中之一，就是应钟的长度。把应钟平分为三再增加其中之一的长，就是蕤宾的长度。把蕤宾平分为三再减去其中之一，就是大吕的长度。把大吕平分为三再增加其中之一的长，就是夷则的长度。把夷则平分为三再减去其中之一，就是夹钟的长度。把夹钟平分为三再增加其中之一的长，就是无射的长度。把无射平分为三再减去其中之一长，就是中吕的长度。阴阳相生，从黄钟开始回旋，八八形成一对。这些规矩都要用铜制乐器来体现。其职责在大乐官，由太常掌管。
度包括分、寸、尺、丈、引，是用来测量长短的。本来是起源于黄钟的长度。用谷子黑黍中号大小来测量，一黍的宽度是九十分，正好是黄钟的长度。一个单位就是一分，十分就是一寸，十寸就是一尺，十尺就是一丈，十丈就是一引，这样五种测量长度的单位就明白清楚了。制作的方法是用铜来铸造，高是一寸，宽二寸，长一丈，这样分、寸、尺、丈就都存有了。用竹来制作引，高一分，宽六分，长十丈，它的方形依照矩来制作，高和宽的数字，是阴阳的具体体现。分，是把许多极微小的组到一块就比较显著了，可以用来分别事物。寸，就是忖，可揣度、思量。尺，就是蔓，用来规范长度。丈，就是张，丈量的意思。引，就是信，伸长的意思。所以度是用分来分别，用寸来揣度，用尺来规范，用丈来丈量，用引来伸长。引，就是无限伸展。职责在内官，由廷尉来掌管。
测量容积的工具有龠、合、升、斗、斛，是用来测量多少的。本来起源于黄钟的竹管，用长度的数字来确定它能容纳多少，用中号的谷子黑黍一千二百颗来装满竹管，用井水来让它平整。一黄钟竹管的数量就是一合，十合是一升，十升是一斗，十斗就是一斛，这样五种量器就完善了。制作的方法是用铜铸造，用方尺再使其外部成圆形，旁边还有剩余的部分。上面就作斛，下面作斗。左耳为升，右耳就是合和龠。它的形状就像爵器，用来分配爵位和俸禄。它的上面是三，下面是二，天是奇数，地是偶数，圆中有方，左边有一个，右边有两个，这是阴阳的具体表现。它的圆就像规器一样，重有二钧，具备了大气和万物的数字，共有一万一千五百二十。声音符合黄钟，从黄钟长度开始反覆损、益三分之一，是君主制作器物的法式。龠是黄钟律长的容积，微微跳动鼓荡气流就生成万物。合，是把龠加在一起的数量。升是比合高一等的容量。斗是把升聚集在一起的容量。斛是用角装一斗平了的容量。量器从龠开始，到合相会，到升上升，到斗相聚，把斛用角来量。它的职责在太仓，由大司农来掌管。
衡权中衡的意思是干正，权的意思是加重，用秤锤来均分物质使轻重平正。它的方法就像砥石砺物使其平整一样，用来表现准星的平正，绳的笔直，向左转就是规，向右折就是矩。它在天上，用来辅佐北斗的璇玑星，斟酌斗柄所指的方向，用来协调曰、月、五星七政，所以叫玉衡。《论语》说：“站着见到它坐在前面，在车上就见到它倚靠着车辕头上的横木。”又说：“用礼来整治他们。”这是衡在前方，居于南方的意思。
称量物体的单位有铢、两、斤、钧、石，它们是用来称量物体平衡的标尺，弄清楚物体的重量。本来起源于黄钟的重量。一黄钟竹管装一千二百粒黍子，重量是十二铢，十二铢的两倍就是一两。一两有二十四铢。十六两就是一斤。三十斤就是一钩。四钧就是一石。估计有十八钟，象征《周易》有十八种变化的情况。五权制的建立，用定义来确立，用物体来衡量，其余大小的差别，用轻重来分别比较合适。锤是圆环形状的，让它的形体上有很多小孔，是为了让它变化不定，到终点后又重头开始，循环没有穷尽。铢，是表示物体从很细小的开始，逐渐长得比较明显，可以用来区别不同。两是黄钟律管的两倍重的意思。由二十四铢形成一两，是二十四节气的表现。斤是显著的意思，共有三百八十四铢，是《周易》二篇的爻数，是阴阳变化的表现。十六两形成一斤，是表示用四个季节乘以四方。钩是平均的意思，阳气施放，阴气转化万物，都能得到平均的结果。秤锤与物体重量均平，重量就有一万一千五百二十铢，正好是万物的表示。四百八十两是六旬周行八节的象征。三十斤形成一钧，是一个月的表示。石是大的意思，是重量最大的单位。从铢开始，铢的两倍就是两，到斤就比较明显了，到钧就比较平均，到石就是最重的单位，物体的重量单位到石就是最重的了。四钧形成一石，是表明一年有四季。重一百二十斤，表明一年有十二个月。到十二辰停止又从子时开始，正是黄钟重量的表示。一千九百二十两是阴阳的数字。三百八十四爻，是五行的表示。四万六千零八十铢，是一万一千五百二十物经过四时的表示。这样一岁的功劳成就了，五权制也就严格了。
秤锤和物体相平就形成平衡状态，秤杆运行就形成圆规，用圆规画的圆来形成矩形，矩尺方正了就生成绳，绳直了就形成丁准，准正了那么秤杆就平直而秤锤就均称了。这就是五则。规是用来画圆的器械，使圆都能相像。矩是画方的器械，使方不能变形。规和矩互相配合，阴和阳位置有序，圆和方才形成。准是用来测量平直使物体平正。绳，上下笔直，经纬畅通。准和绳连在一起，衡和权协调一致，各种工匠都要用它，来确定法度，就像辅弼官拿着玉笏来辅助天子。《诗经》上说： “尹氏任太师，执掌国家的权量，维持四方，辅助天子，使百姓不迷惑。”共有五象，它的意义都是一样。用阴阳来比喻，那么太阴就是北方。北，是伏的意思，阳气蛰伏在地下，在时令上是冬天。冬，是终的意思，万物整天都躲藏着，于是才可以称量。水滋润地势低的物质。有智慧的善于计谋，有谋略的人就显得重要，所以他们就制作了权。太阳处在南方。南就是孕育，阳气孕养万物，在时令上是夏季。夏就是假，物体很大，就把它弄平整。火烤着上面。知礼的人就能整治，整治的人就能公平，所以就制作了衡。少阴，处在西方。西就是迁，阴气使万物凋落，在时令上已是秋季。秋就是报，万物收敛，就是成熟了。金的特性是变革，改变了重新开始。有正义感的人成功，成功的人就方正，所以制作矩。少阳，处在东方。东，就是动，阳气使万物萌动，在时令上是春季。春，就是蠢，万物蠢蠢欲动，就开始运动了。木由曲变直。仁道的人能够生存，能够生存的人比较圆通，所以制作了规。处在中央的，在阴阳之内，四方之中，经和纬都畅通，这样才能端正笔直，这是在一年四季。在土中种庄稼都能生长。虔信的人心诚，心诚的人正直，所以制作了绳。用五则来度量物体，有轻、重，圆、方，平、直，阴、阳的含义，有四方四季本体，五常、五行的相似之处。法则各有种类，各自顺着自己的方向而运行。职责在大行，由鸿胪来掌管。
《尚书》说： “我想知道六律、五声、八音、七始的歌咏，用来向天下宣告五言，你也来听听。”这里的“我”，是帝舜。造句话是说用律吕来协调五声，把它在八种乐器上演奏，这样就把它们合成了音乐。七是指天、地、四时、人的开始。把它们配上歌咏五常的音调，听到它就能顺应天地，遵守四时的规律，应合人伦，本守阴阳，依照人的情性，用德来感化，用乐来感动，都是一个道理。衹有圣明的人才能与天下的人心意相同，所以舜帝想知道。现在广泛地招纳众多儒生，详细讨论后，来阐明道理，修整旧的制度，统一律制，详细度制，完善量制，平等衡制，平均权制，端正准制，笔直绳制，建立在五种法则的基础上，使万数齐备，万音协调，来为天下百姓造福，使天下人走上同一正道，海内同归一路。凡是律器、度器、量器、衡器都用铜铸造，是各自取铜的谐音，用来统一天下，整齐风俗。铜是万物中的精华，不为燥、湿、寒、暑而改变它的性质，不为风雨和曰晒夜露而改变形状，专一不变，具有像士人君子一样的品行，所以要用铜。用竹来做引器，是制作比较方便的缘故。
历法推算的兴起已很久远了。传说颛顼任命南正重掌管天文，火正黎掌管地理，后来三苗道德败坏，这两个官都被罢黜了，从而出现一年所剩下的日子错乱，正月消失，木星所应在的位置错误的现象。尧帝重新抚养重、黎二官的后代，让他们继承祖业，所以《尚书》上就说：“于是任命羲、和，让他们恭敬顺应上天，观察推算曰月星辰的运行，让百姓知道时节。”“一年有三百六十六Et，用闰月来调节四时节气，形成一年的岁时，用来治理百官，各种功业都很美好。”后来把它授给舜说：“舜啊，以后天体的历数就属于你了。”“舜也对禹这样说。”到周武王时询问箕子，箕子说出了《洪范》九畴，其中五纪阐明历法。所以从殷、周开始，都在建立帝位时改换制度，确定历法的计算，用相应的服饰的颜色，顺应时令节气，来迎合自然规律。三代衰败之后，五霸以后史官丧失记录，而世代懂历法的于孙都分散了，有的人到了夷狄，所以他们所记载的，有《黄帝历》、《颛顼历》、《夏历》、《商历》、《周历》以及《鲁历》。战国时，天下大乱，秦兼并天下后，一时来不及改定历法，但也推崇五行相胜，白以为得到了水德，就以十月为正月。崇尚黑的颜色。
汉朝建立后，国家纲纪刚建立，万事都处初创之时，就承袭了秦朝的历法。又采用北平侯张苍的建议，用《颛顼历》，和其他五种历法相比较，在差距中它最为贴近。但历法对朔的计算和对所应祟尚的服饰的颜色都未取得真切的方法，而且朔、晦时月亮的出现，月亮的弦、满和亏，多与真实情况相异。
到武帝元封七年时，汉朝已建立了一百零二年，大中大夫公孙卿、壶遂、太史令司马迁等人说“历法已不能再用了，应改正历法”。这时御史大夫倪宽懂得经学，皇上于是就命令倪宽
说：“你去同各位博士一同商议，现在要如何计算朔日？服饰要崇尚什么颜色？”倪宽同博士赐等人讨论，都说：“帝王一定要改换历法和服饰的颜色，用来表明是受命于上天。创业后制度要更改，没有重复的，从历史文献推论来看，那么现在应使用夏正。臣下等人学识狭隘浅陋，不能明晓事理。陛下身有圣德可以与天地相匹配，臣下等人认为夏、商、周的制度，后代重复前代的，是因为二代在前面。现在二代的制度已经绝迹没有记载了，希望陛下发圣德，广泛考察天地四时的极限，调顺阴阳以确定历法，作为万代的法则。”于是下诏命令御史道：“前不久有主管部门说历法没有确定，要求多召集一些人询问对策，用来推算历法的星度，但还没有完成这件事。听说古时候黄帝能与自然相合而不死，能根据命名的来考察进退，确定律声的清浊，推演五行，建立了节气、万物、历法的推算。但这些都是很早的事了。现在书籍缺乏，音乐废弃，我对这件事感到很为难。左思右想，还是没有能够弄明白。就以元封七年为太初元年。”于是就命公孙卿、壶遂、司马迁同侍郎尊、大典星射姓等人讨论制造《汉历》。开始确定方向，安装测El影以定时刻的仪器，下面放上计时的漏壶，用来测算二十八星宿间隔分布在四方的方位，最终来确定朔晦历数春、秋分冬、夏至，Et月所运行的所在和弦望。就依照前一历法的上元泰初四千六百一十七年，到元封七年，重新出现甲寅年，仲冬十一月甲子初一天明时冬至， 日月在建星之处，太岁在于，已经得到太初星度的正确数值。射姓等人上奏表示不会计算，希望招聘研究历法的人，重新制造更精确的计算方法，各自增减，来制作汉朝的《太初历》。于是就选拔研究历法的邓平以及长乐的司马可、酒泉的候宜君、侍郎尊以及一些民间研究历法的人，共有二十多人，方士唐都以及巴郡的落下闳也参加了。唐都划分天上星宿的分布，落下闳推算历数。他的方法是根据律度来确定历数，说：“律的容量是一龠，积是八十一寸，正好是一天的分数。与律长相始终。律长有九寸，到一百七十一分时又重新开始，经过三次重复就成甲子。律中的阴阳数字是九和六，这是从爻象所演化而来的。所以用黄钟来调理元气就叫律。律，也就是法则，没有不以律为法则的。”研究结果正好同邓平相同。于是，大家便都来观察新的星度以及Et月的运行，重新加以推算，与落下闳、邓乎的结果一样。法则是一月有二十九天八十一分之四十三。先借半天，叫做阳历；不借，就叫阴历。所谓阳历，就是朔
日前可见到月亮；所谓阴历，就是朔日后才可见到月亮。邓平说： “使用阳历，朔日平旦时可见到月亮，是为了方便诸侯王和群臣的朝见。”皇上便下令要司马迁使用邓平所造的八十一分律历，废除相差甚远的十七家，又命令继续校验该律历中是否还存在不正确的地方。宦官淳于陵渠又重新推算《太初历》的晦、朔、弦、望，都比其他历法精确，日月如璧合，五星如珠连在一起。淳于陵渠把情况报告给皇上，皇上便使用邓平的历法，任命他为太史丞。
二十七年后的元凤三年，太史令张寿王给皇帝上书说： “历法是天地的大事，是上天所为。相传下来的黄帝《调律历》，汉朝建立后就使用它。现在阴阳不调，是改用了《太初历》造成的。”皇帝就命令主持历法工作的使者鲜于妄人去质问，张寿王不服。鲜于妄人就请求与研究历法的大司农中丞麻光等共二十多人一同观望日月的晦、朔、弦、望、八节二十四节气，来验证各历的情况。他的请求被批准了。皇上就命令丞相、御史、大将军、右将军史各一人一同在上林清台观察天象，来验证各种历法的粗疏与精密，共有十一家。从元凤三年十一月初一天明冬至开始，到五年十二月完成，十一家历法都有自己疏密的次序。检验证明张寿王的历法相差甚远。实际上汉朝建立后不使用黄帝的《调律历》，他非议了汉朝的历法，背离天道，不是他所应说的，犯下大不敬的罪。皇上下令不要追究他的罪责。又重新观察，用了元凤六年一整年。结果是《太初历》第一，即墨徐万且、长安徐禹研究《太初历》的结果也得出是第一的结论。张寿王以及待韶李信所研究的黄帝《调律历》，试验的误差很大，又说从黄帝到元凤三年有六千多年。丞相委托实、长安单安国、安陵梧育研究《终始》，说从黄帝以来有三千六百二十九年，与张寿王的不合。张寿王又转移到《帝王录》，舜、禹的年岁不合人的年龄。张寿王说伯益替代禹为天子，骊山女在殷、周年代也为天子，这些都不合经学。张寿王的历法就是太史官的《殷历》。张寿王歪曲地称哪裹能得到五家的历法，又荒谬地说《太初历》差四分之三天，去掉小余七百零五分，因此阴阳不调，称作乱世。有人弹劾贬张寿王官为八百石，古代的大夫，身穿儒生的衣服，述说不吉祥的话，制造怪诞的邪说想扰乱国家制度，犯大逆不道之罪。皇上批准了弹劾。张寿王观察试验，连续三年都属下等，但始终不服。又弹劾他该当死罪，被赦免，张寿王便不再说了，但说他坏话的人更多，最终被交给法官审讯。所以历法验证在于天，从汉朝的历法开始实施，到元凤六年，经过了三十六年，是与非才确定了。
到孝成帝的时候，刘向汇总六种历法，罗列出正确与错误，写了《五纪论》。刘向的儿子刘趑探究其中的微妙，写成《三统历》和《谱》，用来解说《春秋》，所推算的精确得其要领，因此在这裹要说一说。
《春秋》一书的编年，是按照天时来进行的，依照天时来排列人事。传说：“人呼吸到天地的中和之气而有生命，造就是所谓的命。因此有礼、义、动、作及容貌举止的法则来决定命，有能力的人就以此作为修养而得到幸福，不能修养的人就去败坏它们而招致祸患。”因此就列出十二公共二百四十二年的事情，用阴阳的中和之气来制定礼。所以春天是阳气的中和之气，万物得以生长；秋天是阴气的中和之气，万物得以成熟。因此事物都列举中心部分，礼就选取谐和部分，历数就是以闰月来协调天地之中，用来指导人们的各种活动使生活充裕，这些都是用来定命的。《周易》上金、火相革的卦说“汤、武实施变革以应天命，顺应了天命和人事”，又说“研究历法可以阐明天时的变化”，是用来与人道相应合的。
周朝王道衰微，周幽王去世后，天子不能颁布历法，鲁国的历法又不正确，它以一年中闰还剩一作为首。所以《春秋》一书讽刺说“十一月乙亥H朔，太阳又出现亏食”。于是斗柄指向在申，但掌管历法的人却认为在建戌，史书上记载在建亥。哀公十二年，也是以建申大火星在黄昏时位于西方天际的月份为建亥，却怪冬眠的动物不去冬眠。从文公闰月没有颁布朔日，到这时已一百多年了，不能校正历数。因此子贡打算不送为告朔而准备的牲羊，孔子坚持要行这种礼仪，就把这种方法写进《春秋》之中。 《春秋》说：“冬十月初一，又出现日食。” 《左传》说：“没有记日，官员有失误。天子有日官，诸侯则有日御，日官居卿位观测、祭祀太阳，这是礼。曰御不遗失日期的记载，以便在朝廷上告诉百官。”这是说的颁布朔。以常规而言，历数的起始称为元。传说： “元，是善良的人中的佼佼者。”供养三种品德叫善。又说：“元，是体裁中最长的。”把《风》、《雅》、《颂》三种体裁合起来称作元。在春季的三个月中，每月都记载春王正月、春王二月、春王三月等，是元的三统。三统合成一元，因此用元一乘以三的九次方形成法数，用三的十一次方作为实数。实数如法数得一。黄钟初九，是律的头一个，阳的变化。用六来乘，以九作为除数，就得到林钟初六，是吕的头一个，阴的变化。这都是参天两地的方法。上生六就加倍，下生六就减半，都以九作为除数。
九六是阴阳、夫妇、子母的规律。律娶妻而吕生子，是天地的常情。六律六吕，十二辰就形成了。五声中有清浊，这样就形成了十日。《左传》说“天六地五”，这是数的常数。天有六气，下降则形成五味。五六是天地的中合之数，人凭藉它们得以生存。所以曰有六甲，辰有五子，相加得十一，天地的规律全都在这裹了，它们周而复始。太极中央元气，所以为黄钟，它的容积是一龠，用它的长来自乘，所以八十一作为日法数，因此产生了权、衡、度、量，礼和乐也由此而产生。经过万物惟一的本源来统一开始，是《周易》中太极之首。春秋二季来表示一年，是《周易》两仪的中间。在春天每月记载春王正月等，是《周易》三极之统。在四时即使没有事件也要记时令和月份，是《周易》四象品质。月份有斗建之分，节气有立春、立夏和立秋、立冬之分，这是《周易》中的八卦之位。仿效事物的成败，是《周易》中吉凶的验证。诸侯定期朝见天子和霸主，是《周易》大业的根本。所以《周易》与《春秋》，是天人的规律。《左传》说：“龟，就是形象。筮，就是数。万物出生后才有形象，有形象后才繁衍，繁衍后才有数。”
因此原始时象数衹有一，春秋有二，三统有三，四时有四，合起来就是十，形成五体。用五乘十，得到大衍之数，道占其中之一，还余四十九，是可以用的，所以蓍就把它作为数。用四十九二(象两)、再乘以三(象三)、再乘以四(象四)、再加上十九(归奇象闰)，再加上一。以其总和再乘以二，造就是月法的实数。如曰法则得一，是一月的日数，这样天、地、人三辰的轨迹就交会了，因此能产生吉凶。所以《周易》说：“天为一地为二，天为三地为四，天为五地为六，天为七地为八，天为九地为十。天数有五个，地数有五个，五个数相加各有一个和。天数总和二十五，地数总和三十，天数、地数的总和是五十五，它们就形成了卦爻变化的依据，从而推演占卜起来有如鬼神一样灵验。”把天和地的终数相加为十九， 《周易》的规律是穷尽以后就变化，所以是闰法。天数九的三倍，加上地数十的两倍，是为会数。天数之和二十五的三倍，加上地数之和三十的两倍，是为朔望之会的数。用会数来乘以朔望交会的数，就是会月的数。九倍会月又到了正月，是黄钟初九的数。经过四季，即使没有事件也要记下时月。时是用来记立春、立夏和立秋、立冬等节气的，月是用来记春分、秋分以及冬至和夏至等的中气的。立春、立夏等是节气。春分、秋分、夏至、冬至等是中气。节气不必某一个月有固定的对应关系，而中气则必须同某个月份有固定的对应关系。因此《左传》说：“先王的正时，从开端开始，举中气来正月，把余曰留在后面。从开端开始，顺序就不会有错误；举中气来正月，百姓就不会迷惑；把余日留在后面，事情就不会惑乱。”这说明圣明的君王是重视闰的。用五位乘以会数，就形成朔旦冬至，造就是章月。把月法分成四份，用其中之一乘章月，造就是中法。用三乘以闰法就得周至，用周至来乘月法，以此减中法，再以通法约之，则为奇零之数七，是一个月的闰法数，所余的是七分。造就是求中朔的方法。没有中气的月份叫做闰月，是说阴阳即使相交，没有中气，也不会生长。所以曰法乘闰法，就是统岁数。用三乘以统岁数，得元岁数。元岁之中的闰有水旱灾害，用三乘闰法即五十七次。《周易》九厄说：从开始进入元年，一百零六年中，有九次旱灾；再过三百七十四年，有水灾九次；再过四百八十年，有旱灾九次；再过七百二十年，有水灾七次；再过七百二十年，有旱灾七次；再过六百年，有水灾五次；再过六百年，有旱灾五次；再过四百八十年，有水灾三次；再过四百八十年，有旱灾三次。共有四千六百一十七年，与一元一起结束。经过了四千五百六十年，有灾害五十七年。因此《春秋》上就说：“举中气来正月。”又说：“闰月不颁布朔日，是不符合礼的。闰是用来使时令正确，时是用来生产劳作，事情做了才能令万物生长茂盛，养育人民的方法于是乎就有了。不颁布闰朔，是抛弃正时，那用什么来治理人民？”所以表扬僖公“五年春王正月辛亥是朔日，冬至，僖公就去视朔，于是就登上观台来观望，然后记了下来，造就是礼。凡是春分、秋分、冬至、夏至以及立春、立夏、立秋、立冬，一定要记下天象云气的变化，是为了备用的缘故”。到昭公二十年二月己丑，冬至，少了一个闰月，冬至所在的月份不对。梓慎见到云气也发现月份不对，是不从开端开始的缘故。所以《左传》不说冬至，而说太阳南至。太阳位于牵牛宿初度时，在中午的时候曰影最长，由此可以知道太阳是南至。北斗星的柄端连通营室，婺女宿的天区指向牵牛宿的初度，用来记曰月，所以叫星纪。五星从它的初端开始运行，曰月从它中间开始运行，共有十二次。太阳运行到它的开端是节气的开始，运行到中间斗建处为中气的开始，以下为十二辰。看见斗柄就知道它的运行次度。所以说：“根据礼，上供物品，不过十二，这是周天的大数。” 《春秋》上记载说春王正月，《左传》中解释说是周朝的正月。“大火星出现，在夏代是三月，在商朝是四月，在周朝是五月。夏历与天文现象吻
合”。对四季的安排是正确的。三代各占据天、地、人三统中的一统，明了天、地、人三统常重合，所以轮流为岁首。升降三统的岁首，是周旋于五行之道啊。所以三五之数相容相生。天统开始于子之中，太阳开始出现红色。地统发生于丑初，太阳生出黄色的光，到了丑之中，太阳生出弱光发白。人统发生在寅初，曰光萌发出现黑色，到寅之中，日光渐亮成青光。天发挥作用在子，地生万物从丑开始结束于辰，人功自寅开始成在申。所以历法三统术，天统首日甲子，地统首甲辰，人统首甲申，第一、第二、第三轮流为统首。三统已经形成，那么五行从青色开始，次序是一样的。五行与三统之数相交错对应。《左传》上解释说“天有三辰，地有五行”，所以三统术和五星运行的规律可知道了。 《周易》说：“三五之数的变化，错综复杂，概括所有的数。知道了它的变化规律，于是可以成为天下的大理论家。全部了解了它的范围，遂能判定天下的变化。天上的太极运转三辰、五星在天上，地下的元气运转三统、五行在地下，至于人，皇权统理人间的三德和五事。所以三辰暗合三统，H合天统，月合地统，斗合人统。五星与五行相合，水应合辰星，火应合荧惑，金应合太白，木应合岁星，土应合镇星，三辰五星相纵横配合运行。天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。五行相克之数相乘，用来生成小周之数，用以乘“干”“坤”的策数，而成大周之数。阴阳对应排列，交错相成，所以阴阳卦象的转变生成来自于六爻。三正开始的数为“着”，三乘以“着”得“象”，二乘以“象”得十八变数而成为“卦”，再乘以四为“易”，是七十二，是三倍的三与两倍的四相乘得出的数。三倍的“易”得“干”卦的策数，二倍“易”得“坤”卦的策数。以阳九数乘它，得六百四十八，以阴六数乘它得四百三十二，两者相加得一千零八十的数，是阴阳各一卦相合的起始策数。用八乘它是八千六百四十，此数为八卦小成之数。以此推算，再乘以八是六万九千一百二十，天地为二，再相乘，得十三万八千二百四十，而后成就大成之数。大成之数是五星运行都能俱终会合的年数，再类此而推广它，用它乘以章岁(十九)，得二百六十二万六千五百六十，这时是五星运行舆月分、月食之分都能俱终相会合的年数，三次会合为七百八十七万九千六百八十年，这时日分、月分、食分与五星运行都能俱终相合，这是三统之会。三倍三统之会数二干三百六十三万九千零四十年，后又回到H、月、五星开始运行的初始之点。九乘章岁(十九)又乘六的得数，用它去除H、月、五星一次会合俱终的年数，此得数一分为二，阴、阳各是一万一千五百二十，当是万物的气数，依此观测天下，所有的事物规律就能计算完备了。
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